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Les règles de la divisibilité
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   Dans la vie courante, il peut être pratique de savoir reconnaître si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11 ou 25. Dans tous les cas, c'est amusant et intéressant à la fois, je trouve. En plus, à l'origine, il a fallu démontrer les résultats !

Par 2

   Il suffit que le dernier chiffre soit divisible par 2 (c'est-à-dire que ce soit 0, 2, 4, 6, ou 8). Par exemple, 5287 n'est pas divisible par 2 - car 7 n'est pas divisible par 2 -, mais 136 et 94618 le sont.

Par 5

   De même que pour 2, il suffit que le dernier chiffre soit divisible par 5 (c'est-à-dire que ce soit 0 ou 5). Par exemple, 2497 n'est pas divisible par 5, mais 625 et 4800 le sont.

Par 4

   En ce qui concerne la division par 4, il faut cette fois-ci que les deux derniers chiffres soient divisibles par 4. Exemples : 61934 n'est pas divisible par 4 (34 n'est pas divisible par 4), mais 2028 l'est (car 28 est divisible par 4).

Par 25

   De même que pour 4, il suffit que les deux derniers chiffres soient divisibles par 25. En somme, il faut que le nombre finisse par 00, 25, 50 ou 75. Exemples : 6287 n'est pas divisible par 25 (87 n'est pas divisible par 25), mais 4150 l'est (50 = 25 x 2).

Par 3

   La règle de la divisibilité par 3 est assez curieuse... et je me demande d'ailleurs qui a eu le premier l'idée de la tester et de la démontrer. En effet, pour savoir si un nombre est divisible par 3, il suffit que la somme des chiffres qui composent le nombre soit divisible par 3.
   Par exemple, nous pouvons affirmer que 734 n'est pas divisible par 3. En effet, 7 + 3 + 4 = 14, et 14 n'est pas divisible par 3. En revanche, 81234 l'est, car 8 + 1 + 2 + 3 + 4 = 18, et 18 est divisible par 3 (18 = 3 x 6).

Par 9

   De même que pour 3, il suffit que la somme des chiffres qui composent le nombre soit divisible par 9. Exemples : 5019 n'est pas divisible par 9 (5 + 0 + 1 + 9 = 15, et 15 n'est pas divisible par 9), mais 837 l'est (8 + 3 + 7 = 18, et 18 est divisible par 9).

Par 7

   C'est un peu plus compliqué. On s'appuie sur le fait que si le nombre abcd est divisible par 7, alors abc - (2 x d) est divisible par 7, et réciproquement.
   Prenons un exemple : 7241. Nous conservons tous les chiffres (724) - sauf le dernier (1) -, et nous lui retranchons deux fois le dernier : 724 - (2 x 1) = 722. Nous procédons de même avec le résultat, soit 722 : 72 - 2 x 2 = 68. Or 68 n'est pas divisible par 7, donc 7241 non plus.
   Autre exemple : 30086. 3008 - 2 x 6 = 2996 ; 299 - 2 x 6 = 287 ; 28 - 2 x 7 = 14 ; 14 étant divisible par 7, 30086 l'est aussi !

Par 11

   Enfin, concernant la divisibilité par 11, il faut "que la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair soit divisible par 11". Prenons un exemple pour que ce soit plus clair.
   Pour le nombre 651, les chiffres de rang impair sont 6 et 1, et seul le chiffre 5 figurant au 2ème rang a un rang pair. Ainsi, (6 + 1) - 5 = 2, et comme 2 n'est pas divisible par 11, 651 ne l'est pas non plus. De la même façon, on se rendrait compte que 41679 est, lui, divisible par 11. En effet, (4 + 6 + 9) - (1 + 7) = 11, et 11 est bel et bien divisible par 11.


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   > Dernière mise à jour : 10 avril 2009.